Como prometí os voy a hablar de los números
narcisistas. Un número de n cifras es narcisista cuando es igual a la suma de
las n-ésimas potencias de las cifras que lo componen, dicho así es algo raro
veamos un ejemplo:
El 153 es un número narcisista ya que 153 = 13
+ 53 + 33, observemos que 1, 5 y 3 son las cifras que lo
componen y que el exponente 3 coincide con el número de cifras que tiene 153.
Trivialmente se puede demostrar que todos los
números de una cifra son narcisistas ya que 5 = 51. Por lo tanto al
principio parece fácil encontrar este tipo de números, pero nada más lejos de
la realidad, existen pocos números que tienen esta propiedad, de hecho son un
número finito.
Primero veamos que existe un número finito de
números narcisistas:
Es fácil ver que solo existe un número finito de
números narcisistas: la máxima suma de las n-ésimas potencias de los dígitos de
un número de n dígitos es, desde luego, n · 9n la suma de n n-ésimas
potencias de 9. Evidentemente, existe un número N que cumple que n · 9n <
10n-1 (*) para todo n > N, por lo que no puede haber números
narcisistas de N o más dígitos. De hecho, la desigualdad (*) es cierta para n
> 60.
Los números narcisistas más grandes tienen 39
cifras y hay dos:
a)
115132219018763992565095597973971522400
b)
115132219018763992565095597973971522401
Los otros números narcisistas que existen son:
|
Números
narcisistas
|
1
|
0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
|
3
|
153, 370,
371, 407
|
4
|
1634,
8208, 9474
|
5
|
54748,
92727, 93084
|
6
|
548834
|
7
|
1741725,
4210818, 9800817, 9926315
|
8
|
24678050,
24678051, 88593477
|
9
|
146511208,
472335975, 534494836, 912985153
|
10
|
4679307774
|
11
|
32164049650,
32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578,
94204591914
|
14
|
28116440335967
|
16
|
4338281769391370,
4338281769391371
|
17
|
21897142587612075,
35641594208964132, 35875699062250035
|
19
|
1517841543307505039,
3289582984443187032, 4498128791164624869, 4929273885928088826
|
20
|
63105425988599693916
|
21
|
128468643043731391252,
449177399146038697307
|
23
|
21887696841122916288858,
27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398,
35452590104031691935943
|
24
|
174088005938065293023722,
188451485447897896036875, 239313664430041569350093
|
25
|
1550475334214501539088894,
1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380,
3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938
|
27
|
121204998563613372405438066,
121270696006801314328439376, 128851796696487777842013787,
174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765
|
29
|
14607640612971980372614873089,
19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741,
23866716435523975980390369295
|
31
|
1145037275765491025924292050346,
1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915
|
32
|
17333509997782249308725103962772
|
33
|
186709961001538790100634132976990,
186709961001538790100634132976991
|
34
|
1122763285329372541592822900204593
|
35
|
12639369517103790328947807201478392,
12679937780272278566303885594196922
|
37
|
1219167219625434121569735803609966019
|
38
|
12815792078366059955099770545296129367
|
39
|
115132219018763992565095597973971522400,
115132219018763992565095597973971522401
|
A ver si alguien se anima a comprobar que los últimos lo son, ánimo.