Números narcisistas

Como prometí os voy a hablar de los números narcisistas. Un número de n cifras es narcisista cuando es igual a la suma de las n-ésimas potencias de las cifras que lo componen, dicho así es algo raro veamos un ejemplo:

El 153 es un número narcisista ya que 153 = 1³ + 5³ + 3³, observemos que 1, 5 y 3 son las cifras que lo componen y que el exponente 3 coincide con el número de cifras que tiene 153.

Trivialmente se puede demostrar que todos los números de una cifra son narcisistas ya que 5 = 5¹. Por lo tanto al principio parece fácil encontrar este tipo de números, pero nada más lejos de la realidad, existen pocos números que tienen esta propiedad, de hecho son un número finito.

Primero veamos que existe un número finito de números narcisistas:

Es fácil ver que solo existe un número finito de números narcisistas: la máxima suma de las n-ésimas potencias de los dígitos de un número de n dígitos es, desde luego, n · 9ⁿ la suma de n n-ésimas potencias de 9. Evidentemente, existe un número N que cumple que n · 9ⁿ < 10^n-1 (*) para todo n > N, por lo que no puede haber números narcisistas de N o más dígitos. De hecho, la desigualdad (*) es cierta para n > 60.

Los números narcisistas más grandes tienen 39 cifras y hay dos:

a)      115132219018763992565095597973971522400

b)      115132219018763992565095597973971522401

Los otros números narcisistas que existen son:

	Números narcisistas
1	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
3	153, 370, 371, 407
4	1634, 8208, 9474
5	54748, 92727, 93084
6	548834
7	1741725, 4210818, 9800817, 9926315
8	24678050, 24678051, 88593477
9	146511208, 472335975, 534494836, 912985153
10	4679307774
11	32164049650, 32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914
14	28116440335967
16	4338281769391370, 4338281769391371
17	21897142587612075, 35641594208964132, 35875699062250035
19	1517841543307505039, 3289582984443187032, 4498128791164624869, 4929273885928088826
20	63105425988599693916
21	128468643043731391252, 449177399146038697307
23	21887696841122916288858, 27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943
24	174088005938065293023722, 188451485447897896036875, 239313664430041569350093
25	1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938
27	121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376, 128851796696487777842013787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765
29	14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295
31	1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915
32	17333509997782249308725103962772
33	186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991
34	1122763285329372541592822900204593
35	12639369517103790328947807201478392, 12679937780272278566303885594196922
37	1219167219625434121569735803609966019
38	12815792078366059955099770545296129367
39	115132219018763992565095597973971522400, 115132219018763992565095597973971522401

A ver si alguien se anima a comprobar que los últimos lo son, ánimo.